Aufgabe

Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse auf dem vorgegebenen Intervall.
  1. $$ f\colon f(x) =x^3-4\,x^2+3\,x, \quad [-2,5] $$
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    Die Nullstellen von $f$ lauten $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 3 \ . $$ Damit ist $$ \begin{array}{rcl} \int_{-2}^5 \left| f(x) \right| \ \mathrm{d}x & =& \int_{-2}^5 \left| x^3-4\,x^2+3\,x \right| \ \mathrm{d}x \\ & =& \left| \int_{-2}^0 x^3-4\,x^2+3\,x \ \mathrm{d}x \right| \\ & &+ \left| \int_{0}^1 x^3-4\,x^2+3\,x \ \mathrm{d}x \right| \\ & &+\left| \int_{1}^3 x^3-4\,x^2+3\,x \ \mathrm{d}x \right| \\ & &+\left| \int_{3}^5 x^3-4\,x^2+3\,x \ \mathrm{d}x \right| \\ & =& \left| \left[ \frac{1}{4} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 \right]_{-2}^0 \right| \\ & &+ \left| \left[ \frac{1}{4} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 \right]_{0}^1 \right| \\ & &+\left| \left[ \frac{1}{4} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 \right]_{1}^3 \right| \\ & &+\left| \left[ \frac{1}{4} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 \right]_{3}^5 \right| \\ & = &\left| \frac{1}{4} \cdot 0^4 - \frac{4}{3} \cdot 0^3 + \frac{3}{2} \cdot 0^2 - \left( \frac{1}{4} \cdot (-2)^4 - \frac{4}{3} \cdot (-2)^3 + \frac{3}{2} \cdot (-2)^2 \right) \right| \\ & &+\left| \frac{1}{4} \cdot 1^4 - \frac{4}{3} \cdot 1^3 + \frac{3}{2} \cdot 1^2 - \left( \frac{1}{4} \cdot 0^4 - \frac{4}{3} \cdot 0^3 + \frac{3}{2} \cdot 0^2 \right) \right| \\ & &+\left| \frac{1}{4} \cdot 3^4 - \frac{4}{3} \cdot 3^3 + \frac{3}{2} \cdot 3^2 - \left( \frac{1}{4} \cdot 1^4 - \frac{4}{3} \cdot 1^3 + \frac{3}{2} \cdot 1^2 \right) \right| \\ & &+\left| \frac{1}{4} \cdot 5^4 - \frac{4}{3} \cdot 5^3 + \frac{3}{2} \cdot 5^2 - \left( \frac{1}{4} \cdot 3^4 - \frac{4}{3} \cdot 3^3 + \frac{3}{2} \cdot 3^2 \right) \right| \\ & = & \left| - \frac{62}{3} \right| + \left| \frac{5}{12} \right| + \left| -\frac{8}{3} \right| + \left| \frac{88}{3} \right| \approx 53.08 \end{array} $$
  2. $$f\colon f(x) =2\,x^5-3\,x^4, \quad [-1,2]$$
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    Die Nullstellen von $f$ lauten $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 1.5 \ . $$ Es gilt $$ \int_{-1}^2 \left|2\,x^5-3\,x^4 \right| \ \mathrm{d} x \approx 4.59 $$
  3. $$f\colon f(x) =2\,x^2 - 11 \,x +12 \quad [1,5]$$
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    Die Nullstellen von $f$ lauten $$ x_1 = \frac{3}{2}, \quad x_2 = 4 \ . $$ Es gilt $$ \int_{1}^5 \left| 2\,x^2 - 11 \,x +12 \right| \ \mathrm{d} x \approx 9.08 $$
  4. $$f\colon f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) \quad [0,5]$$
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    Die Nullstellen von $f$ lauten $$ x_1 = 1, \quad x_2 = 2 \ \quad x_3 = 3 . $$ Es gilt $$ \int_{0}^5 \left| (x-1)(x-2)(x-3) \right| \ \mathrm{d} x \approx 18.75 $$