Bestimmen Sie den Mittelwert $\bar{x}$ und die Standardabweichung $s$ folgender Urliste:
$\bar{x}=$
$s=$
Vertiefung
Im folgenden Diagramm werden die Ergebisse einer Mathematikklausur zusammen gefasst.
Bestimmen Sie den Mittelwert $\bar{x}$ und die Standardabweichung $s$.
Für den Mittelwert $\bar{x}$ gilt
$$
\bar{x} = \frac{ 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + 4 \cdot 5 }{21} \approx 3,\!67 \ .
$$
Damit ist die Standardabweichung $s$:
$$
\begin{array}{ll}s & = \sqrt{ \frac{3 (2 - 3,67 )^2 + 5 (3 - 3,67)^2 + 9 (4 - 3,67)^2 + 4 (5 - 3,67 )^2 }{ 21}} \\
& \approx 0,94 \ .
\end{array}
$$
Wie peinlich! Die Lehrkraft hat sich bei der Berechung des Notenschlüssels vertan ().
Zum Glück ist der Fehler aufgefallen, bevor die Klausur zurückgegeben wurde. Die tatsächliche
Noten sind um einen Notenpunkt besser (d.h. eine Zwei ist tatsächlich eine Eins, eine Drei ist tatsächlich eine Zwei usw.) . Bestimmen
Sie den tatsächlichen Mittelwert und die tatsächliche Standardabweichung. Was fällt auf? Formulieren Sie Ihre Beobachtung.
Durch die Korrektur der Noten ergeben sich folgende Änderungen
$$
\bar{x}_\mathrm{neu} = \frac{ 3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 9 \cdot 3 + 4 \cdot 4 }{21} \approx 2,\!67 \
$$
und
$$
\begin{array}{ll}s_\mathrm{neu} & = \sqrt{ \frac{3 (1 - 2,67 )^2 + 5 (2 - 2,67)^2 + 9 (3 - 2,67)^2 + 4 (4 - 2,67 )^2 }{ 21}} \\
& \approx 0,94 \ .
\end{array}
$$
Von allen Einträgen der Urliste wurde eine $1$ subtrahiert. Der Mittelwert wird dadurch um $1$ kleiner
$$
\bar{x}_\mathrm{neu} = \bar{x} - 1 .
$$
Die Standardabweichung ändert sich nicht. Es gilt $s_\mathrm{neu} = s$.
Die Streuung der Daten um den Mittelwert verändert sich bei einer Verschiebung der Werte nach links nicht.
Herausforderung
Der Mittelwert besitzt eine sogenannte Minimalitätseigenschaft. In dieser Aufgabe sollen Sie erklären, was diese Eigenschaft bedeutet.
Gegeben sei folgende Urliste $2$, $6$, $16$ und eine Funktion $f$ mit $f(x) = (2-x)^2 + (6 - x)^2 + (16-x)^2$.
Berechnen Sie einen Wert von $x$ für den $f(x)$ minimal ist.
Ein minimaler Wert eine Funktion wird oft Tiefpunkt genannt.
Vergleichen Sie das Ergebnis aus (a) mit dem Mittelwert der Liste. Formulieren Sie eine Vermutung.
Berechnen Sie den Mittelwert und vergleichen Sie das Ergebnis mit der $x$-Koordinate des Tiefpunktes.
Verallgemeinern Sie Ihre Vermutung.
Führen Sie eine analoge Rechnung für eine allgemeine Urliste $a$, $b$, $c$ und den Term $f(x) = (a-x)^2 + (b-x)^2 + (c - x)^2$ durch.
Weisen Sie die Richtigkeit folgender Aussage nach:
Der Mittelwert weicht im Schnitt am wenigsten von den Werten einer Urliste ab.
