Gesucht sind die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion $f$. D. h. alle $x$-Werte mit $f(x) = 0$.
Nullstellenbestimmung - Mögliche Strategie
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Liegt die Funktionsgleichung als von $f$ als Produkt vor? Falls ja, dann können alle Faktoren separat betrachtet werden. Z. B.
$$
f(x) = (x-3) \cdot (x - 5) \cdot (x + 6)
$$
Die Nullstellen sind Lösungen der Gleichungen
$$
x - 3 = 0
$$
und
$$
x -5 = 0
$$
sowie
$$
x + 6 = 0
$$
Damit sind $x_1 = 3$, $x_2 = 5$ und $x_3 = -6$.
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Ist das absolute Glied gleich Null? Falls ja, dann kann die kleinste $x$-Potenz ausgeklammert werden. Z. B.
$$
f(x) = x^5 + 3x^4 - 8x^3.
$$
Es gilt
$$
\begin{array}{rll}
0 & = x^5 + 3x^4 - 8x^3 & | \quad \text{$x^3$: Summand mit der kleinsten Potenz} \\
0 & = x^3 (x^2 + 3x - 8) & | \quad \text{$x^3$ wird ausgeklammert} \\
\end{array}
$$
Die Gleichungen $$x^3 = 0 $$ und $$ x^2 + 3x + 8 $$ können separat gelöst werden.
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Die Funktionsgleichung von $f$ ist eine quadratische Gleichung. Falls ja, es kann die $p$-$q$-Formel angewandt werden. Z. B.
$$
f(x) = 2 x^2 - 8x + 3.
$$
Es gilt
$$
\begin{array}{rlr}
0 & = 2 x^2 - 8x + 6 & |:2 \quad \text{Gleichung auf die Form } x^2 + px + q \ \text{bringen} \\
0 & = x^2 -4x +3) & | \quad p = -4, \ q = 3 \\
x_{1,2} & = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q } & \\
x_{1,2} & = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-4}{2} \right)^2 - 3 } & \\
x_{1,2} & = 2 \pm 1 & \\
\end{array}
$$
Die Nullstellen von $f$ lauten $x_1 = 3$ und $x_2 = 1$.
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Es kommen genau zwei Potenzen von $x$ vor. Der höchste Exponent ist das Doppelte des Anderen. Falls ja, dann kann die kleinere Potenz substituiert werden. Z. B.
$$
f(x) = x^4 - 5x^2 +4
$$
Die Potenz $x^2$ wird durch $z$ ersetzt. Damit ist $x^4 = z^2$ und $x^2 = z$. Es ensteht eine neue Gleichung zweiten Grades, die mit der $p$-$q$-Formel gelöst werden kann.
$$
\begin{array}{rlr}
0 & = z^2 -5z +4) & | \quad p = -5, \ q = 4 \\
z_{1,2} & = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q } & \\
z_{1,2} & = -\frac{-5}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-5}{2} \right)^2 - 4 } & \\
z_{1,2} & = 2.5 \pm 1.5 & \\
\end{array}
$$
Die Lösungen lauten $z_1 = 4$ und $z_2 = 1$. Jetzt wird $x$ rücksubstituiert
$$
\begin{array}{rlll}
x_1 & = \sqrt{z_1} & = \sqrt{4} & = 2\\
x_2 & = -\sqrt{z_1} & = -\sqrt{4} & = -2 \\
x_3 & = \sqrt{z_2} & = \sqrt{1} & = 1 \\
x_4 & = -\sqrt{z_2} & = -\sqrt{1} & = -1 \\
\end{array}
$$
Hinweis Falls bei der Rücksubstitution eine gerade Wurzel ($\sqrt{}$,$\sqrt[4]{}$, $\sqrt[6]{}$ etc. ) aus einer negativen Zahl gezogen werden muss. Dann existiert in diesem Fall keine reele Lösung.
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Trift keine der obigen Fälle zu, so gibt es in den mesten Fällen kein allgemeines Vorgehen, das zum immer Ziel führt.