Gesucht sind die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion $f$. D. h. alle $x$-Werte mit $f(x) = 0$.

Nullstellenbestimmung - Mögliche Strategie

  1. Liegt die Funktionsgleichung als von $f$ als Produkt vor? Falls ja, dann können alle Faktoren separat betrachtet werden. Z. B. $$ f(x) = (x-3) \cdot (x - 5) \cdot (x + 6) $$ Die Nullstellen sind Lösungen der Gleichungen $$ x - 3 = 0 $$ und $$ x -5 = 0 $$ sowie $$ x + 6 = 0 $$ Damit sind $x_1 = 3$, $x_2 = 5$ und $x_3 = -6$.
  2. Ist das absolute Glied gleich Null? Falls ja, dann kann die kleinste $x$-Potenz ausgeklammert werden. Z. B. $$ f(x) = x^5 + 3x^4 - 8x^3. $$ Es gilt $$ \begin{array}{rll} 0 & = x^5 + 3x^4 - 8x^3 & | \quad \text{$x^3$: Summand mit der kleinsten Potenz} \\ 0 & = x^3 (x^2 + 3x - 8) & | \quad \text{$x^3$ wird ausgeklammert} \\ \end{array} $$ Die Gleichungen $$x^3 = 0 $$ und $$ x^2 + 3x + 8 $$ können separat gelöst werden.
  3. Die Funktionsgleichung von $f$ ist eine quadratische Gleichung. Falls ja, es kann die $p$-$q$-Formel angewandt werden. Z. B. $$ f(x) = 2 x^2 - 8x + 3. $$ Es gilt $$ \begin{array}{rlr} 0 & = 2 x^2 - 8x + 6 & |:2 \quad \text{Gleichung auf die Form } x^2 + px + q \ \text{bringen} \\ 0 & = x^2 -4x +3) & | \quad p = -4, \ q = 3 \\ x_{1,2} & = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q } & \\ x_{1,2} & = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-4}{2} \right)^2 - 3 } & \\ x_{1,2} & = 2 \pm 1 & \\ \end{array} $$ Die Nullstellen von $f$ lauten $x_1 = 3$ und $x_2 = 1$.
  4. Es kommen genau zwei Potenzen von $x$ vor. Der höchste Exponent ist das Doppelte des Anderen. Falls ja, dann kann die kleinere Potenz substituiert werden. Z. B. $$ f(x) = x^4 - 5x^2 +4 $$ Die Potenz $x^2$ wird durch $z$ ersetzt. Damit ist $x^4 = z^2$ und $x^2 = z$. Es ensteht eine neue Gleichung zweiten Grades, die mit der $p$-$q$-Formel gelöst werden kann. $$ \begin{array}{rlr} 0 & = z^2 -5z +4) & | \quad p = -5, \ q = 4 \\ z_{1,2} & = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q } & \\ z_{1,2} & = -\frac{-5}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-5}{2} \right)^2 - 4 } & \\ z_{1,2} & = 2.5 \pm 1.5 & \\ \end{array} $$ Die Lösungen lauten $z_1 = 4$ und $z_2 = 1$. Jetzt wird $x$ rücksubstituiert $$ \begin{array}{rlll} x_1 & = \sqrt{z_1} & = \sqrt{4} & = 2\\ x_2 & = -\sqrt{z_1} & = -\sqrt{4} & = -2 \\ x_3 & = \sqrt{z_2} & = \sqrt{1} & = 1 \\ x_4 & = -\sqrt{z_2} & = -\sqrt{1} & = -1 \\ \end{array} $$ Hinweis Falls bei der Rücksubstitution eine gerade Wurzel ($\sqrt{}$,$\sqrt[4]{}$, $\sqrt[6]{}$ etc. ) aus einer negativen Zahl gezogen werden muss. Dann existiert in diesem Fall keine reele Lösung.
  5. Trift keine der obigen Fälle zu, so gibt es in den mesten Fällen kein allgemeines Vorgehen, das zum immer Ziel führt.