Streckbriefaufgaben $-$ ganzrationale Funktionen

Bei den sogenannten Streckbriefaufgaben soll die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion aus gegebenen Informationen bestimmt werden. Wir wollen uns an zwei Bespielen anschauen, wie man dabei vorgehen kann.

Beispiel 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades ist punktsymmetrisch und hat einen Hochpunkt im Punkt $P(-1|2)$. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von $f$.
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Als erstes müssen wir alle Informationen aus der Aufgabenstellung identifizieren.

Die Funktion $f$ ist vom Grad 3, damit hat die Gleichung von $f$ die Form $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx +d \ . $$

Da der Graph von $f$ punktsymmetrisch ist, treten in der Funktionsgleichung von $f$ nur ungerade Exponenten von $x$ auf. Die Gleichung von $f$ vereinfacht sich dadurch zu $$f(x) = ax^3 + cx \ .$$

Da $f$ im Punkt $P(-1|2)$ einen Hochpunkt besitzt, erhalten wir zwei Informationen. Erstens der Punkt $P(-1|2)$ liegt auf dem Graphen von $f$, d. h. $$f(-1)=2 \ .$$ Zweitens die Steigung im Punkt $P(-1|2)$ ist gleich null (notwendige Bedingung für einen Hochpunkt). Damit ist $$f'(-1) = 0 \ . $$

Bei den gesammelten Informationen taucht die erste Ableitung von $f$ auf. Wir bilden daher $f'(x)$. Es gilt $$ f'(x) = 3 a x^2 + c \ . $$

Nun können wir ein Gleichungssystem aufstellen, um $a$ und $c$ zu bestimmen.

Aus $f(-1) = 2$ folgt $$ 2 = a(-1)^3 + c(-1) = -a - c $$ und aus $f'(-1)= 0 $ folgt $$ 0 = 3a(-1)^2 + c = 3a + c \ . $$

Wir lösen das Gleichungssystem $$ \begin{array}{rl} 2 & = -a - c \\ 0 & = 3a + c \end{array} $$ Wir lösen die zweite Gleichung nach $c$ auf $$ \begin{array}{rll} 0 & = 3a + c & | -3a \\ -3a & = c & \end{array} $$ und setzen $c = -3a $ in die erste Gleichung ein. $$ \begin{array}{rll} 2 & = -a - (-3a) & \\ 2 & = -a + 3a & \\ 2 & = 2a & | : 2 \\ 1 & = a & \end{array} $$ Jetzt setzen wir $a=1$ in die zweite Gleichung ein $$ c = -3a = -3 \ . $$

Die Funktionsgleichung von $f$ lautet damit $$ f(x) = ax^3 + cx = x^3 - 3x \ . $$

Beispiel 2

Die Funktion $f$ hat eine Funktionsgleichung der Form $f(x) = x^3 + bx^2 + cx +d$ . Die Wendetangente von $f$ berührt den Graphen von $f$ im Punkt $W(0|1)$ und hat die Steigung $m=-4$.
Modelllösung:
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Eine allgemeine Funktionsgleichung von $f$ wird uns in der Aufgabenstellung mittgeteilt. Diese lautet $$ f(x) = x^3 + bx^2 + cx +d \ . $$ Unsere Aufgabe ist, die Zahlen $b$, $c$ und $d$ zu bestimmen.

Eine Wendetangente ist eine Tangente, die den Graphen einer Funktion in dem Wendepunkt berührt. Wir können nun folgende Informationen entnehmen.

  1. Der Punkt $W(0|1)$ liegt auf dem Graphen von $f$, da $W(0|1)$ ein Wendepunkt ist. D. h. $f(0) = 1$.
  2. Die Steigung der Tangenten am Punkt $W(0|1)$ ist $m=-4$. D. h. $f'(0) = -4$, da die Ableitungsfunktion uns die Steigung in einem beliebigen Punkt einer ganzrationalen Funktion angibt.
  3. Da $W(0|1)$ ein Wendepunkt ist, ist $f''(0) = 0$ (notwendige Bedingung für einen Wendepunkt).

Wir brauchen also die erste und zweite Ableitung von $f$. Diese lauten $$ \begin{array}{rl} f(x) & = x^3 + bx^2 + cx+d \\ f'(x) & = 3 x^2 + bx + c \\ f''(x) & = 6 x + b \end{array} $$

Nun können wir ein Gleichungssystem aufstellen, um $b$, $c$ und $d$ zu bestimmen.

Aus $f(0) = 1$ folgt $$ \begin{array}{rl} 1 &= 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 +d \\ 1 &= d \end{array} $$

Aus $f'(0) = -4$ folgt \begin{array}{rl} -4 &= 3 \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \\ -4 &= c \end{array}

Aus $f''(0) = 0$ folgt $$ \begin{array}{rl} 0 &= 6 \cdot 0 + b \\ 0 &= b \end{array} $$

Hier können wir $b= 0$, $c = -4$ und $d= 1$ direkt ablesen. Die Funktionsgleichung von $f$ lautet $$ f(x) = x^3 - 4x +1 \ . $$