Aufgabe
In der folgenden Grafik werden die Graphen der Funktion $f$ und $g$ dargestellt. Die Funktionsgleichung von $g$ wird durch eine Modifikation der Funktionsgleichung von $f$ erhalten. Und zwar mithilfe der Paramater $a$, $b$, $c$ und $d$. Es gilt
$$
g(x) = a\cdot f(b \cdot x -c) + d \ .
$$
Die Funktionsgleichung von $f$ lautet
$$
f(x) = x^3 - 4x \ .
$$
-
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von $h:h(x) = a\cdot f(x)$ für $a = 2$.
Es gilt
$$
h(x) = a \cdot f(x) = a \cdot \left( x^3 - 4 x \right) = 2 \cdot \left( x^3 - 4 x \right) \ .
$$
-
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von $h:h(x) = f(b \cdot x)$ für $b = 2$.
Es gilt
$$
h(x) = f(b \cdot x) = (b \cdot x)^3 - 4 (b\cdot x) = (2 \cdot x)^3 - 4 (2 \cdot x) \ .
$$
-
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von $h:h(x) = f(x-c)$ für $c = 2$.
Es gilt
$$
h(x) = f(x-c) = (x-c)^3 - 4 (x - c) = ( x -2 )^3 - 4 (x-2) \ .
$$
-
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von $h:h(x) = f(x)+d$ für $d = 2$.
Es gilt
$$
h(x) = f(x)+d = x^3 - 4 x +d = x^3 - 4 x + 2 \ .
$$
-
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von $g$ für $a=2$,$b=3$, $c=5$ und $d=7$.
Es gilt
$$
\begin{array}{rl}
g(x) & = a\cdot f(b \cdot x -c) + d \\
& = a \cdot \left((b \cdot x - c)^3 - 4 (b \cdot x - c) \right) +d \\
& = 2 \cdot \left((3 \cdot x - 5)^3 - 4 (3 \cdot x - 5) \right) +7 \ .
\end{array}
$$
- Die Werte der Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ können mittels der Schieberegler verändert werden. Beschreiben Sie die Wirkung der Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ auf den Graphen von $g$ (schwarz) im Vergleich zu dem Graphen von $f$ (rot).
- Untersuchen Sie die Parameter nacheinander.
-
Untersuchen Sie die Fälle
- $a,b,c,d > 1$,
- $a,b,c,d < -1$,
- $0 < a,b,c,d < 1$
- und $-1 < a,b,c,d < 0$.
| $\color{red}{f(x)=}$ | $\color{red}{x^3 - 4x} $ |
| $g(x)=$ | $x^3 - 4x $ |